集异壁之大成

回文

A man，a plan，a canal: Panama
螃蟹卡农
移译是否恰当？翻译二难问题
- 没辣味的川菜
- 没泡沫的可乐
- 因而，正是《集异璧》的本质——即它是一本关于抽象概念的书，而不是关于个人经验的书——决定了哪种翻译哲学是恰当的。
- www.chinesepen.org/blog/archives/42300
内容和形式的两方面的回文

译者

刘皓明
严勇

本书讲什么

读者打开的这本书是一本空前的奇书。在计算机科学界，大家都知道这是一本杰出的科学普及名著，它以精心设计的巧妙笔法深入浅出地介绍了数理逻辑、可计算理论、人工智能等学科领域中的许多艰深理论，然而当你翻阅它的时候，首先跳入眼帘的却是艾舍尔那些构思奇特的名画以及巴赫那些脍炙人口的曲谱，最后，你合上这本书的时候，竟会看到封面上印着“普利策文学奖”的字样。

本书摘抄

本书在我的脑子酝酿了几乎有二十年之久—— 也就是说从我十三岁时思考我如何用英语和法语思维这一刻起。

不断升高的卡农

然而在整整六次这样的变调之后，原来的 C 小调又魔术般地恢复了!所有的声部都恰好比原来高八度。

人工智能

这便是人工智能所要研究的全部。人工智能工作的奇异之处就是试图将一长串严格形式化的规则放在一起，用这些规则教给不灵活的机器如何能灵活起来。

但是什么样的“规则”可能把握住我们想到的所有的智能行为呢?当然，一定是在各个不同的层次上有不同的规则。一定有许多“十分平常的”规则，一定有“元规则”修改“十分平常的”规则，而且有“元元规则”修改元规则，等等。智能的灵活性来自大量的不同规则和规则的层次。之所以一定有许许多多的在不同层次上的规则，是因为在生活中，生物面对着成千上万的完全不同类型的境况。

无疑，包含着那些直接或间接地改变自己的规则的怪圈是智能的核心。有的时候人类思维的复杂性看起来是如此的巨大，以致于人们觉得对于“理解智能”这个问题没有什么解决办法——人们觉得无法设想有某种规则可以控制生物的行为，即便所用的“规则”具有上述意义上的“多层次”。

WU谜题

跳出系统

我敢肯定任何一个人都有某种程度的在系统之内进行工作，同时思考他正在做什么的能力。实际上，在人类事务中，通常是几乎不可能将“在系统之内”和“在系统之外”清楚地区别开的，生活是由许多连结并交织又常常是不协调的“系统”组成的，用“系统内”、“系统外”这类词汇来思考似乎是过于简单化了。但是，非常清楚地形成一些简单的概念，以便人们可以在思考更复杂的概念时把它们作为模型，这常常是重要的。

图形与衬底

存在非倍流畅的流畅可画出图形。

在音乐中也可以找到图形与衬底。类比之一就是旋律与伴奏之间的区别——因为在某种意义上讲，旋律总是处在我们注意力的前沿，而伴奏是第二位的。因此当我们在一部乐曲的较低声部发现可识别的旋律时会很惊奇。这种乐曲在巴罗克以后的音乐中不太常见。和声通常不被当作是前景。但在巴罗克音乐中——尤其是在巴赫的音乐里——各个声部，不论是高是低或在中间，都是起“图形”作用的。从这个意义上讲，巴赫的曲子可以称为“倍流畅的”。

存在一个形式系统，其负空间（非定理集）不是任何一个形式系统的正空间（定理集）。

用更为技术性的术语来说，上面的结果就是：存在非递归的递归可枚举集。

并非所有的形式系统都有用印符规则表述的判定过程。

音乐中的堆栈

紧张和解决是音乐的核心。任何有一定音乐修养的人都自动保持着一个装有两个调子的“浅堆栈”。在这个浅堆栈中，存放着真正的主调音和与之最接近的“伪主调”（即作曲家假装采用的那个调子）。也就是说，存放着最具“全局性”的调子和最具“局部性”的调子。这样，听众就可以知道什么时候回到了主调，并有一种强烈的“如释重负”的感觉

递归迁移网 RTN

一个紊乱的序列

这是那些非常奇特的情况之一，即一个多少是个自然的定义，导致一个令人极度困惑的现象：以很有秩序的方式制造出了混乱。人们很自然地会想到：表面上的混乱是否隐含着某种微妙的规律性。当然，根据定义是有规律性的。但有趣的是，是否有另一种刻划这个序列的方式——要是运气好的话，最好一个非递归的定义。

侯世达定律：做事所花费的时间总是比你预期的要长，即使你的预期中考虑了侯世达定律。

意义位于何处

意义是一条消息所固有的，还是在心灵或机器与一条消息的相互作用中产生的？

理解内在消息就是抽取出发送人所要传递的意义。

理解框架消息就是确认需要一种解码机制。

这个圈套表现为下述想法：在你能使用任何规则之前，你必须有另一个规则来告诉你如何使用这一规则；换句话说，存在一个具有无穷多层次的规则体系，这就阻止了任何规则的使用。

但是，我们都知道这些悖论是无效的，因为规则的确是在被使用，而消息也的确是在被理解。

我们的智能并未“出窍”，而是表现于我们的大脑这种物理对象之中。我们大脑的结构是漫长的进化过程的结果，它们的运行是受物理规律控制的。既然它们是物理实体，我们的大脑在运行时无需被告知如何运行。就是在这一层次上，物理规律产生出思维，因而卡罗尔的规则悖论被打破了。

如果不同的人的“自动唱机”里的“歌曲”是不同的，而且它们都以各自不同的方式反应于给定的触发信号，那么我们就不会倾向于把意义作为触发信号所固有的东西。但是，人类大脑的构造导致如下情形：在同样条件下，一个脑和另一个脑对一个给定的触发信号几乎产生完全一样的反应。这就是一个幼儿能够学会一门语言的原因，他对触发信号的反应方式和其他幼儿相同。

把意义归因于消息是出于这样一种看法：分布在宇宙各处的智能生物对消息所进行的处理具有不变性。这有点像把质量归因于物体。对于古代人来说，似乎一个物体的重量一定是该物体的固有属性。但当人们懂得了引力之后，人们认识到重量取决于物体所处的引力场。然而，一个相关的量，即质量，却是不随引力场的变化而变化的。从这种不变性中人们得出了结论：一个物体的质量才是物体自身的一种固有属性。如果将来发现质量也是随环境而变的，那我们会回过头来重新修正我们关于物体固有属性的观点。

也许我们在智能问题上已经不自觉地背上了类似的沙文主义包袱，导致在意义问题上也是这样。在我们的沙文主义观点下，我们可能把那些具有和我们充分相似的大脑的生物称为“智能生物”，同时拒绝承认其它类型的东西是具有智能的。

命题演算

良构串

这个系统的一个特别之处在于它没有公理——只有规则。如果你回过头想一下先前我们看到过的形式系统，你可能就会奇怪：怎么才能有定理呢？事情怎么才能开始呢？回答是有那么一条规则，它无中生有地制造定理——它不需要一个“老定理”作为输入。（其他的规则都是要求输入的。）这个特别的规则被称为幻想规则。

搬入规则：在一个幻想里边，任何来自于“现实性”高一个层次的定理都可以拿进并使用

分离规则（幻想规则的逆规则）：如果x和x->y是一个定理，那么y是一个定理。二者都是定理，那么附带说一下，这条规则常常被称作“ModusPonens”，而幻想规则常常被称为“演绎定理”。

陀螺规则：略

试图用逻辑和推理来维护它们自身是很困难的。到某一时刻，你就无路可退了：除了大声嚷嚷“我知道我是对的！”之外，并不存在这种维护。我们又遇到了刘易斯·卡罗尔在他的对话中尖锐地提出的论点：你无法永远维护你的推理模式。到了一定的地步，就只有靠信仰了。

这是人们为了使每一步都如此简单而付出的代价。在一般情况下，说一个推导和一个证明是“简单的”，这是在这个词的补偿意义上来说的。说证明是简单的，是指每一步“看上去是对的”，虽然一个人可能还不知道为什么是这样；而说推导是简单的，是指它的无数步骤中的每一步都被认为是如此不足道，以至于无从加以责难，而且由于整个的推导都恰好是由这样的不足道的步骤所组成，它可以被认为是没有错的。可是，任何一种简单性都会带来一种特殊类型的复杂性。对于证明，是它们赖以依靠的背景系统——即，人的语言——的复杂性；对推导来说，这是它们的天文规模，这使得它们几乎是不可能把握得住的。

印符数论

无门与哥德尔是禅宗

回答这些问题需要对顿悟是什么有一定的了解。所谓顿悟，最简明扼要地说或许就是：超越二元论。

如果有什么公案使人困惑，这就是一个。而且很可能它的目的恰恰就在于引起困惑，因为人的心智处于困惑状态时就会在某种程度上不合逻辑地运转。只有跨出逻辑，摆脱理论，人才能跃入顿悟境地。可是逻辑到底怎么不好了？为什么它会阻止人们达到顿悟？

如果词语不好，思维也不好，那么什么是好的？当然，这么问已经是彻头彻尾的二元论了。

洞山禅师曾说过，“全部佛经三藏可以由一个字来表达。“我一直在想，该是什么样的解码机制才能从一个字里抽出三藏经文？也许是个带有两个半球的东西。

这使我脑子里产生了一幅重正化粒子的图像：在每个电子中，都有虚光子、正电子、中微子、π 介子 ……；每个光子中又有虚电子、质子、中子、死介子 ……；而在每个 π 介子中，有……

但随即又来了另一幅图像：关于人。每个人都反映在许多其他人的脑子里，那些人又反映在另外一些人的脑子里，如此下去。

有一种观点认为，一则编了码的消息与未编码的消息的不同之处在于：前者仅有其自身还不能表示什么——还需要有关编码的知识。现在我们可以来反驳这种观点了。事实上，在现实中不存在什么未编码的消息。只有用较熟悉的编码编的消息和用不太熟悉的编码编的消息。若要显露一则消息的意义，就必须用某种机制或同构从编成的编码中把它抽出来。发现解码的方法可能很困难，可一旦发现了，消息就会变得水一样清澈。当编码足够熟悉的时候，它就不显得象编码了，人们于是也就忘了有一个解码机制存在。这样，那则消息就与其意义等同了。

描述的层次和计算机系统

哥德尔串 G 和巴赫的赋格曲都有这样一个性质：能在不同的层次上被理解。我们都熟悉这种事情。有时我们也会被搞糊涂，而另一些时候还是能毫无困难地掌握它们。例如，我们都知道人体是由大量的细胞所组成（大约有二十五万亿个），因此我们所做的一切原则上都能在细胞水平上被描述。或者说它们甚至可以在分子水平上被描述。大多数人都把这作为一个事实而接受了。我们去找医生看病，医生对我们的观察层次就要低于我们自我观察的层次。我们可以一边读着关于 DNA 和“遗传工程”的文章，一边呷着咖啡。我们似乎调和了这样一些关于我们自身的极不相同的图象，其实我们只不过是不把它们联系在一起。

在 40 年代，荷兰心理学家阿德里安·德·格鲁特就研究了下棋时新手和大师是怎样感知一个棋局的。用那些刻板的术语来说，他的研究结果指出大师们是以“组块”来感知棋子的分布的。有一种比直接描述每处棋子的位置层次更高的棋局描述，而大师就是以某种方式生成了这样一个棋局的心智表象。这一点已被下述事实所证实：两个人都用五秒钟时间审视棋盘之后，大师能很快地重新摆出一盘实际对局中的某个局面，而新手则要慢得多。

结论是这样的：在正常的对局过程中，会有某种多次再现的局面——也就是某种模式——而大师正是对这种高层次的模式十分敏感。他和新手在不同的层次上思考，他们的概念集是不同的。几乎出乎所有人意料的发现是，大师在超前搜索时很少比新手走得更远——更有甚者，大师往往只检查屈指可数的几种可能着法！关键在于，他感知棋局的方式象一个过滤器：在观察局势时他实际上看不见坏棋——正象业余棋手在观察局势时看不见不合规则的棋步一样。任何懂一点棋术的人都已经对他的感知进行了组织，斜着走车、象走日字这样的着法不会出现在脑子里。类似地，大师级的棋手在观察棋局时已经建立了更高层次的组织，因此对他们来说，坏棋一般不会被想出来，就象对大多数人来说不合规则的棋不会被想出来一样。

我们进行自我认识时的混乱与下述事实有关：我们是由许多层次构成的，同时我们用重叠的语言在所有这些层次上描述我们自己。

自举

随着复杂性的增长，人们认识到，一个部分完成了的编译程序可用于对其它部分进行编译。换句话说，一旦编译程序的核心部分写成了，这个小编译程序就能把一个大一点的编译程序译成机器语言—依此办理就能翻译一个更大的编译程序，直到最后得出整个所期望的编译程序。这个过程有个形象生动的名字：“自举”——其缘由是显然的（想象一个抓住鞋带想把自己举起来的人就行了）。这有点象一个刚刚能顺利地使用自己母语的幼儿，从那时开始，他的词汇量和流畅程度将飞速增长，因为他可以利用语言来取得新的语言。

运行着的程序的各种描述层次

编译语言一般说来并不反映运行由它所写出的程序的机器结构。这是它优于高度专门化的汇编语言和机器语言的主要特点之一。当然，在一个用编译语言书写的程序被翻译成机器语言之后，得到什么样的程序是依赖于具体机器的。因此，在描述一个正在执行的程序时，既可以独立于机器，也可以依赖于机器。正好象提到一本书中的某段时，既可以根据其谈论的内容（独立于出版社），也可以根据其页码（依赖于出版社）。

程序正常运行时，你怎么描述它或想象它的活动都没有太大关系。只有在出了毛病时，能够在不同的层次上思考才变得重要起来。

然而，组块化模型可能有个很大的缺点：它通常不具有精确的预测力。一个组块化模型是定义了一个“空间”，并预期着行为会落入其中，而且描述了行为落在该空间的不同区域的概率。

有一种老生常谈的说法，即“计算机只能你告诉它去做的事。”这在某种意义下是对的，但并没有说到点子上：你不能预先知道你告诉计算机去做的事会导致什么结果，因此它的行为可能象一个人那样令人迷惑、使人惊讶、无法预测。

在下述两类由许多部分构成的系统之间存在着一种重要的区别。在一类系统中，某些部分的行为趋向于抵消另一些部分的行为，结果是低层发生的事件影响不大，因为大多数事件都将导致类似的高层行为。这种系统的一个例子就是煤气罐，它里面的分子以非常复杂的微观方式彼此碰撞，但总的效果，在宏观上看，它是一个非常平静、稳定的系统，具有一定的温度、压力和容量。而在另一类系统中，单个低层事件的效果将被放大成一个巨大的高层后果。克郎棋就是这样的一个系统，其中棋子间的碰撞对整个局势的变化会产生重要的影响。

旁效现象

一天，我在和两个系统程序员谈论我所用的计算机。他们说操作系统在应付三十五个以内的用户时并不感到困难，但在达到三十五个用户左右时，反应时间突然一下子长了起来，慢得好象你都可以退出系统回家去等着。我开玩笑说：“这好办—看看操作系统里哪个地方存着‘35’这个数，然后把它改成‘60’不就行了！”大家都笑了。当然，问题在于根本没有这种地方。那么这个临界值——35 个用户 ——是从哪里来的呢？答案是：它是整个系统组织的一个可以看见的结果一个“旁效现象”。

大脑和思维

心智和思维

从一开始就很清楚，人类的两个成员之间不会有这样的同构。否则，就他们的思维而言，他俩将完全不可区分，因而他俩必须要有完全相同的记忆——这就意味着他们必须过着一模一样的生活。就是孪生的人都没能——哪怕是在很小的程度上——接近这种理想状态。

我们不关心神经原层次上的同构（这肯定不存在），也不关心大脑中的基本组成部分之间的同构（这肯定存在，但没告诉我们多少东西），我们关心的是在符号层次上是否可能有大脑之间的同构：这将是个对应关系，不仅把某一大脑中的符号对应到另一大脑中的符号，而且还把触发模式对应到触发模式。这意味着以相应的方式把两个大脑中相应的符号联系起来。这是真正的功能同构——当初我们试图描述所有蝴蝶的不变量时，说的就是这种同构。

在这个地理类比中，有一点是非常关键的：几乎所有的自想国中都有某些确定的、绝对的参照点：北京、上海、广州等等。根据这些你就能确定自己的方位。换句话说，如果来比较我的和你的自想国，我就能利用关于大城市我们之间已有的一致而建立起一些参照点，借此向你说明我这个自想国中较小的城市在什么位置。

我们在任何时候都能用关于组块的词语（即：非神经原的）去描述我们的意识活动。就是说我们有一种机制，使得我们能够对我们的大脑状态进行粗略的组块，并对之进行功能描述。

这意味着在不同的环境下，同一个大脑中可以产生出彼此冲突的想法。任何有价值的高层次大脑状态读出形式都必须包括对所有这类彼此抵触的想法的刻画。实际上这是显而易见的—我们全都是一大堆矛盾的混合体，为了把他们统一起来，我们总是在一个特定时刻只表现出其中的一个方面。选择什么是无法预料的，因为事先并不知道什么条件会对选择施加影响。大脑状态所能提供的是 ——如果恰当地读它——对路线选择的一个有条件的描述。

的作用几乎象个独立的“子脑”，具有自己的可选符号集，而那些符号则可以在它内部相互触发。当然，同时子系统与“外界”——也就是大脑的其余部分——之间也存在着大量通讯。

人工智能简史

从帕斯卡和莱布尼茨开始，人们就梦想着用机器来完成智能性的任务了。
在十九世纪，布尔和德·摩根发明了“思维定律”——本质上就是命题演算 ——因此就迈出了通往人工智能软件的第一步。
查尔斯·巴比奇设计了第一台“计算机械”——现代计算机硬件的前身，也就是人工智能硬件的前身。我们可以把人工智能出现的时刻定义成机械装置完成了某些以前只能用人脑完成的任务之时。
有一个与人工智能的进展相关的“定理”：一旦某些心智功能被程序化了，人们很快就不再把它看作 “真正的思维”的一种本质成分。智能所固有的核心永远是存在于那些尚未程序化的东西之中。这个“定理” 是拉里·泰斯勒首先向我提出的，因此我称它“泰斯勒定理”“：人工智能是尚未做到的东西”。

人工智能领域分类

机器翻译
博弈
数学定理的证明
数学表达式的符号处理
视觉
听觉
自然语言理解
1. 特定领域问答
2. 复杂语句语法理解
3. 对文字材料进行分段
4. 结合现实知识
5. 解决歧义指称关系
自然语言生成
创造艺术作品
类比思维
学习(参数调整，概念形成)

一些概念

心智映射
语义网络

问题解决

改变问题空间
距离度量函数
知识表示：人工智能的关键
概念网络
1. 概念的灵活性是很重要的(滑动性)
  1. 框架：概念骨架
    1. 同构
    2. 受迫匹配
    3. 创造性和随机性
    4. 智能与情感
  2. 参数
  3. 变量
2. 聚集用来处理名词
3. 过滤用来处理形容词

十个问题的推测

计算机能在遥远的未来谱出优美的乐曲
情感不能显明地在计算机中程序化
我思，故我无法进入我算的层次。不能更快地在符号层（概念层）做加法。
不会出现能击败任何人的下棋程序
不能在机器底层存储能控制上层表现能力的配置项
记忆的稳定性塑造了复杂的人格。我们不能轻易地调节他。
能通过图灵测试的程序会看起来具有它的心脏，即使并不存在
不知道人工智能程序能否实现超智能。或许超智能已经超出了主体的感官水平而变得毫无意义。
人类很有可能无法理解人工智能程序。
创造出人工智能后，我们是不是就能理解智能、意识、自由意志和“我”了？大概永远没人能以一种直观的方式理解智能与意识之谜。我们中的每一个都能理解“人”，而这或许也就是你所能达到的。

涉及人物

腓德烈大帝
数学家欧拉
托尔斯泰
管风琴师巴赫
德国画家门采尔
哥特弗雷德·封·施维腾
画家艾舍尔
数学家
- 哥德尔
- 罗素
- 怀特海
- 英国逻辑学家乔治·尔和奥古斯都·德·摩根
- 刘易斯·卡罗尔
- 高特洛布·弗雷格
- 朱瑟佩·皮亚诺
- 大卫·希尔伯特
- 盖奥尔格·康托尔
- 匈牙利数学家雅诺斯（或约翰）·鲍耶
- 济罗拉莫·萨彻利
- 阿德里安-马利·勒让德
计算机
- 帕斯卡
- 莱布尼茨
- 查尔斯·巴比奇
法国作家德彪西

涉及乐器

羽管键琴
弱强琴
管风琴

涉及乐曲

巴赫音乐的奉献
贝多芬第一交响曲
Good king wenceslas
普罗可非耶夫第五钢琴协奏曲
拉赫玛尼诺夫第二交响曲
《平均律钢琴曲集》
哥德堡变奏曲

涉及数学知识点

哥德尔不完全性定理
- 数论的所有一致的公理化形式系统都包含有不可判定的命题。
- 说谎者悖论
- 理发师悖论
- 罗素悖论
- 格瑞林悖论
- 卡罗尔悖论
类型论
- 类型论——我们也可以把它叫做“取缔怪圈的理论”——成功地摆脱了集合论的悖论，但是这是以引进看起来是人为的层次为代价的，并且不允许形成某些类的集合，比如所有普通集合的集合。
- 当你把类型论引入一个你所熟悉的情景中时，它看上去是多么愚蠢。我们采用的补救悖论的办法——把任何形式的自指全部驱除——实际上是一种过头的做法，它把许多完美无缺的语言构造都算作是无意义的了。
数理逻辑
- 事情是从将推理的思维过程加以机械化这一努力开始的。通常认为，使人类有别于其它动物的东西就在于人类有推理能力。所以把最代表人类特点的东西加以机械化，这乍看起来多少有点自相矛盾。
- 然而，即使是古代希腊人也懂得推理是种合乎一定规范的过程，起码是部分地受固定的规律支配的。亚里士多德把三段论规范化，欧几里德整理了几何学，但是自那以后过了许多世纪对公理化推理的研究才又有所进展。
数论
- 在数的抽象概念中，就有那么一种纯净的东西，独立于数念珠、方言或云朵。应该有一种谈论数的方式，这种方式不会总是受到现实所具有的那种糟糕状况的侵入和捣乱。支配“理想”数的铁定的规则构成了算术，并且进一步构成了数论。
- 欧几里得定理：有无穷多个素数
- 递归产生了无穷多。假如把包含无穷限定在有限空间，就产生了无穷小。
- 我们一生中总是在某些句型中使用某些词，但我们不把这些句型叫做“规则”，而是把我们的思维运转过程归因于词汇的“意义”。这个发现在通向数论形式化的漫长道路上是一个关键性的认识。
- 用某种形式系统来达到我们思维能力的水平，在理论上是否有可能。
“证明”是什么
- 三段论的隐含条件所产生的无限上升的条件：逻辑是永不满足的
- 公理的模式
- 良构
- 规约
- 同构
- 解释：同构之间映射的建立
- 形式系统中，意义一定是被动的
芝诺定理
欧几里得定理
形式系统
- 严格地定义一个形式系统（加上一个解释）的一致性：这是指其中每个定理经解释后都成为一个真陈述。如果至少有一个经解释后的定理是假陈述，我们就说出现了不一致性。
- 这个定义似乎是在谈论系统与外部世界的不一致性。那么，内部的不一致性怎么样呢？大概是如果一个系统含有两个或更多的定理，其解释是彼此不相容的，那么它是内部不一致的；而若所有经解释后的定理彼此相容，则是内部一致的。
- 其中某些符号可以在其余符号没有解释的情况下具有解释，让人想起在自然语言里构造几何学时，使用的某些词是未定义项。在这种情况下，词就可以分成两类：一类词有固定不变的意义，另一类词的意义有待调整，直到系统成为一致的（这一类是未定义项）。用这种方式构造几何学，要求第一类词的意义已经在几何学之外制定好。这些词构成一个刚性的骨架，赋予系统一个基础结构；填充那个骨架的是其它材料，它们是可以改变的（欧氏或非欧几何学）。形式系统常常就是以这种相继的、或者说分层的方式构造出来的。
- 外部一致性也不是恒常的。例如，三角形的内角和只在欧几里德几何中是180度，在椭圆几何中要大于这个值，而在双曲几何中要小于这个值。据说高斯曾试图测量三座山峰所形成的三角形的内角和，以最终确定我们的宇宙到底服从哪种几何学。直到一百年后，爱因斯坦提出了一种理论（广义相对论），认为宇宙的几何性质是被其内含的质量所确定的，因此没有哪种几何是空间自身所固有的。所以，对“哪种几何学是正确的？”这个问题，自然界不仅在数学中，而且也在物理学中给出了一个模棱两可的答案。
- 一致性：每个定理经解释后都成为真的（在某个想象的世界里）。
- 完全性：所有真的（在某个想象的世界里）且可表示成系统中的良构符号串的陈述都是定理。
- 我们可以这样来纠正非完全性：或者（1）向系统添加新规则，使之增强能力，或者（2）紧缩解释。在这里，明智的选择看来是紧缩解释。
假想的世界
- 当然，人们仍然可以虚构假想的世界，在其中艾舍尔的那类事件能够发生……但是在那样的世界里，生物学、物理学、数学甚至逻辑的法则会在一个层次上被违反而同时在另一个层次上被遵循，使之成为一个极其古怪的世界。
- 是否有那种世界：矛盾是存在的正常组成部分——矛盾在那里不是矛盾？
- 具体说来，禅宗就是以同等的热情拥抱矛盾和非矛盾的。这似乎不太一致，但不一致也是禅宗的一部分，所以……你能说什么呢？
- 实际上是哥德尔定理的直接后效——数论是分叉的理论，有标准的和非标准的版本。然而，与几何学的情形不同，数论的“品种”有无限多个。这使得数论的情形变得极其复杂。
费因曼图案

涉及书籍

《巴赫读本》
《数学原理》
《几何原理》

音乐知识点

卡农
1. 为了使一个主题能成为一支卡农的主题，它的每个音符必须能起两种(三种，或四种)作用:首先它得是旋律的一部分，其次它必须是这同一旋律的和声的一个部分。比如说，在包含有三个卡农式声部的曲子里，主题的每一个音符除了要构成曲调，还必须在两种不同的方式上构成和声。这样，在卡农曲中，每个音符都有着一个以上的音乐意义，而听者的耳朵和大脑根据前后的音调自动地领会其确切的意义。
2. 主题的种种“副本”不仅在时间上，而且在音高上互相交错。
3. 卡农构成中下一个更复杂的阶段是主题转位，意思是产生这样一个旋律，每当原来的主题跳上时，它就跳下，两者所越过的半音数目相同。这是种相当奇特的旋律转换，但是，如果一个人听过很多转位的主题，就会觉得这种事挺自然了。当它的原主题和转位主题一起唱出时，高低相差八度，前后相差两拍，这就是一支相当悦耳的卡农曲了。最后，这些“副本”中最玄奥的是逆行——主题依一定时间从后往前奏出。使用了这种技巧的卡农，俗称为“螃蟹卡农”，这是因为螃蟹那奇特的运动方式。
4. 注意，不论是哪一种“副本”，都保持有原主题的所有信息，也就是说，从任何一种副本中都可以完全恢复原主题。这种保存信息的转换经常被称作同构。
赋格
- 主题
- 对题
- 赋格在下述这一点上象卡农一样:它通常也是建立在一个主题上，以不同的声部、不同的调子、偶尔也用不同的速度或上下颠倒或从后往前地进行演奏。然而，赋格的概念远不如卡农那么严格，因而允许有更多的情感或艺术的表现。赋格的识别标志的是它的开始方式:单独的一个声部唱出它的主题，唱完后，第二个声部或移高五度或降低四度进入。与此同时，第一个声部继续唱“对应主题”，也叫第二主题，用来在节奏、和声、及旋律方面与主题形成对比。每个声部依次唱出主题，常常是另一个声部伴唱对应主题，其它的声部所起的作用随作曲家的想象而定。当所有的声部都“到齐”了，就不再有什么规则了。当然，还是有一些标准的手法，但它没有严格到只能够按照某个公式去创作赋格。
对位法
- 对位法是在音乐创作中使两条或者更多条相互独立的旋律同时发声并且彼此融洽的技术。
- 对位法是复调音乐的写作技法。“对位”一词源于拉丁文“punctus contra punctum”(音符对音符之意)，即根据一定的规则以音对音，将不同的曲调同时结合，从而使音乐在横向上保持各声部本身的独立与相互间的对比和联系，在纵向上又能构成和谐的效果。
- 构成对位的几个声部，若仅有一种结合方式，其相互关系不可更换则为单对位。相互关系可更换者为复对位。
- 上下可换者为纵向可动对位，前后可移者为横向可动对位，两项兼可者为纵横可动对位。
- 与和声区别
  - 和声追求的是纵向的发展，除了一条主要的声部外，其他的声部在自己的进行中以特定的和声结构辅助这条主要的声部。
  - 对位追求的是横向的发展，各个声部各不相同，但又要互相和谐不冲突。
声部
- “乐器之王”钢琴是多声部乐器，它使用的声部比其他乐器都复杂。简单分类说说：
- (一)，钢琴主要采用高音谱表+低音谱表的“联合谱表”（偶尔才会有2行高 +1行低的3行谱表）。较简单的乐曲在高音或低音一行谱表上，单旋律算一个声部，简单伴奏一般也只是一个声部 (不过拜厄的40条以后，左手已出现简单的2个声部)。
- (二)，程度稍深的乐曲以及复调乐曲（如巴赫的三部创意曲），双手常有2个以上声部。简单的区别方法：看多出来的符干 ——在一行谱表和单手的情况下，如出现2条各自独立的旋律或音符重叠但符干却有上下不同的，那就是2个声部了：这时担任旋律的音符符干朝上是高声部，符干朝下的音符就是低声部（不过有时这2个声部之间可能上下对换，旋律声部会低于伴奏声部；或旋律声部在另一行谱表上)
- ( 三)，复杂的复调乐曲如巴赫的十二平均律乐曲等，会在一行谱表里同时出现2-3个声部，或有一声部在高音谱表和低音谱表之间穿插。这时要很仔细地查看其中符干的朝向、符尾的组合及音符的节拍位置，以及旋律的连贯关系，才能正确区分、弹奏各个声部。
三部
六部
变奏

《哥德尔、艾舍尔、巴赫 : 集异璧之大成》笔记

发布于 2020-04-15 12:23:00