两年前一头雾水的咬牙啃完了《线性代数应该这样学》，再次在大学无意识学完线性代数后接触这门玄乎的课程，仍然是从概念上有了初步的感受，但是对它们的意义和实际应用没有任何体会。
虽然有线性代数的几何意义 (豆瓣)，但是却一直没有买，应该是当时缺货或者价格离谱。然而刚刚却在当当网搜到了价格正常有货的商品： 线性代数的几何意义-当当网。
这两天在B站看完了线性代数的本质 - 系列合集 - 3Blue1Brown，对以下概念有了更形象的理解，也加深了他们之间的联系认识。每集长度也不长，没有钻入繁复的计算过程里，只是给出一个几何上的形象解释。
3Blue1Brow（三蓝一棕）这个名字的由来是，他的创始人Grant本人是异色瞳，3/4蓝色1/4棕色。
- 向量的形式
- 有向线段
- 空间中的点
- 矩阵(计算机)表示中的有序坐标数字
- 线性组合、张成的空间和基
- 在一系列线性无关的基的张成下，形成了向量空间
- 一个向量就是基的线性组合
- 矩阵与线性变换
- 线性系统的算子（函数）满足可加性和一阶齐次性
- 矩阵运算就是建立在上面两个性质至上
- 矩阵乘法与线性变换复合
- 矩阵运算可以看做一次变换，也就是可以看成一个函数
- 同维的线性变换，是一个N阶方阵
- 线性变换复合，就是函数的复合
- 三维空间中的线性变换
- 二维变换扩展到三维
- 行列式
- 行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响
- 逆矩阵、列空间和零空间
- 逆矩阵是矩阵运算的逆运算
- 列空间是一个矩阵Amn的所有列向量张成的空间
- 一个算子 A 的零空间是方程 Av = 0 的所有解 v 的集合。它也叫做 A 的核, 核空间
- 非方阵
- 非方阵可以理解成有降维或扩维作用矩阵变换
- 点积与对偶性
- 对偶一般来说是以一对一的方式，常常（但并不总是）通过某个对合算子，把一种概念、公理或数学结构转化为另一种概念、公理或数学结构：如果A的对偶是B，那么B的对偶是A。
- 由于对合有时候会存在不动点，因此A的对偶有时候会是A自身。
- 对偶性在这里有两处体现
- 坐标轴在向量v上的投影，恰好等于向量v在坐标轴上的投影
- 两个列向量的乘积，对偶于左边向量的对偶矩阵（即行向量）和右边向量的点积
- 点积：两个向量的点积运算，是它们各个坐标乘积的和
- 对偶一般来说是以一对一的方式，常常（但并不总是）通过某个对合算子，把一种概念、公理或数学结构转化为另一种概念、公理或数学结构：如果A的对偶是B，那么B的对偶是A。
- 叉积的标准介绍
- 叉积的结果是长度等于两个向量张成的平行四边形的面积，垂直于这个平面的有向向量
- 以线性变换的眼光看叉积
- 结合了点积、对偶、叉积，因为点积和对偶在前面讲过，这里就引出了叉积的几何意义
- 基变换
- 基变换矩阵就是新基在原有基上的坐标作为列向量，所形成的矩阵
- 基变换矩阵可以把原有空间上的向量变换成新空间上的坐标
- 特征向量与特征值
- 一个矩阵变换中，某些向量的线段不会偏离原有位置，只是有缩放，这些向量所在的线叫做特征向量
- 特征值是特征向量方向上对向量的缩放倍数
- 抽象向量空间
- 向量是一个抽象的概念，可以扩展到其他系统上，比如线性函数的微积分
- 克莱姆法则的几何解释
- 正交变换：点积在线性变换后不会改变的变换
- 克莱姆法则：用向量和坐标上的单位向量张成的面积来代表另外一个坐标值，利用线性变换时面积的大小变化比率等于行列式的值，已知变换后的向量和变换矩阵，就可以算出变换前的向量