金融数学
- https://www.applysquare.com/topic-en/aUxg171He/
- 这三个专业还是很相近的，与金融的关系都很密切。
- 金融学是以基础变量为研究对象和基本工具的，比如利率、汇率、货币供应等。
- 金融数学是将数学知识尤其是高等概率论运用到金融学中，其核心内容是研究不确定随机环境下的投资组合的最优选择理论和资产的定价理论，套利、最优与均衡是金融数学的基本经济思想和三大基本概念。
- 金融工程是金融学的分支，其研究方向较金融学更细、更专、更偏微观，主要学习金融行业内的技术、操作和原理；而金融学则更偏向宏观，管理的成分要更多一些。金融工程主要依赖金融衍生工具，比如期货、期权、远期、互换等等。
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- 受过高等教育的专业人士都可以读懂国内经济类，金融类核心期刊，但国内金融学专业的本科生却很难读懂本专业的国际核心期刊《Journal of Finance》，证券投资基金经理少有人去阅读《Joural of Portfolio Management》，其原因不在于外语的熟练程度，而在于内容和研究方法上的差异，国内较多停留在以描述性分析为主着重描述金融的定义，市场的划分及金融组织等，或称为描述金融；而国外学术界以及实务界则以数量性分析为主，比如资本资产定价原理，衍生资产的复制方法等，或称为分析金融。
- 于是，在未来我们可以想象有这样一个充满美好前景的产业链：金融市场–金融数学–计算机技术。金融市场存在巨大的利润和高风险，需要计算机技术帮助分析，然而计算机不可能处理“大概”，“左右”等描述性语言，它本质上只能识别由0和1构成的空间，金融数学在这个过程中正好扮演了一个中介角色，它可以用精确语言描述随机波动的市场。比如，通过收益率状态矩阵在无套利的情形下找到了无风险贴现因子。因此，金融数学能帮助IT产业向金融产业延伸，并获取自己的利润空间。
- 金融数学的发展曾两次引发了“华尔街革命”。上个世纪50年代初期，马科维茨提出证券投资组合理论，第一次明确地用数学工具给出了在一定风险水平下按不同比例投资多种证券收益可能最大的投资方法，引发了第一次“华尔街革命”。1973年，布莱克和斯克尔斯用数学方法给出了期权定价公式，推动了期权交易的发展，期权交易很快成为世界金融市场的主要内容，成为第二次“华尔街革命”。
- 金融数学主要的研究内容和拟重点解决的问题包括：
- (1) 有价证券和证券组合的定价理论
- 发展有价证券（尤其是期货、期权等衍生工具）的定价理论。所用的数学方法主要是提出合适的随机微分方程或随机差分方程模型，形成相应的倒向方程。建立相应的非线性Feynman一Kac公式，由此导出非常一般的推广的Black一Scholes定价公式。所得到的倒向方程将是高维非线性带约束的奇异方程。
- 研究具有不同期限和收益率的证券组合的定价问题。需要建立定价与优化相结合的数学模型，在数学工具的研究方面，可能需要随机规划、模糊规划和优化算法研究。
- 在市场是不完全的条件下，引进与偏好有关的定价理论。
- (2）不完全市场经济均衡理论（GEI）
- 拟在以下几个方面进行研究：
- 1．无穷维空间、无穷水平空间、及无限状态
- 2.随机经济、无套利均衡、经济结构参数变异、非线资产结构
- 3．资产证券的创新（Innovation）与设计（Design）
- 4．具有摩擦（Friction）的经济
- 5．企业行为与生产、破产与坏债
- 6.证券市场博弈。
- (3) GEI 平板衡算法、蒙特卡罗法在经济平衡点计算中的应用， GEI的理论在金融财政经济宏观经济调控中的应用，不完全市场条件下，持续发展理论框架下研究自然资源资产定价与自然资源的持续利用。
- (1) 有价证券和证券组合的定价理论
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- 金融数学的历史可以追溯到1900年法国数学家巴谢利耶的博士论文《投机的理论》,这宣告了金融数学的诞生。在文中他首次用
布朗运动来描述股票价格的变化，他认为在资本市场中有买有卖，买者看涨、卖者看跌，其价格的波动是布朗运动其统计分布是正态分布。然而，巴谢利耶的工作没有引起金融学界的重视达50多年。 - 20世纪50年代初，萨缪尔森通过统计学家萨维奇重新发现了巴谢利耶的工作，这标志了现代金融学的开始。现代金融学随后经历了两次主要的革命，第一次是在1952年。那年，25岁的马尔柯维茨发表了他的博士论文，提出了
资产组合选择的均值方差理论。它的意义是将原来人们期望寻找“最好”股票的想法引导到对风险和收益的量化和平衡的理解上来。给定风险水平极大化期望收益，或者给定收益水平极小化风险，这就是上述均值方差理论的主要思想。 - 稍后，夏普和林特纳进一步拓展了马尔柯维茨的工作，提出了
资本资产定价模型(简称CAPM)，紧接着米勒提出了公司财务理论（MM理论）引发了第一次“华尔街革命”，是金融数学的开端。马尔柯维茨和夏普也因他们金融数学中的开创性贡献而获得1990年诺贝尔经济学奖。 - 1973年，布莱克和斯克尔斯用数学方法给出了
期权定价公式，以及稍后，莫顿对该公式的发展和深化，期权定价公式给金融交易者和银行家在衍生金融资产的交易中带来了便利，推动了期权交易的发展，期权交易很快成为世界金融市场的主要内容，成为第二次“华尔街革命”。 - 两次“革命”避开了一般经济均衡的理论框架，形成了一门新兴的交叉学科，即金融数学。
马尔科维茨夏普理论和Black-Scholes 公式一起构成了蓬勃发展的新学科——金融数学的主要内容，同时也是研究新型衍生证券设计的新学科——金融工程的理论基础，从而使这两次革命的先驱者分别在1990年和1997年获得了诺贝尔经济学奖。美国经济学家罗伯特·恩格尔和英国经济学家克莱夫·格兰杰对时间序列理论在经济和金融的研究中取得重要成果，也于2003年获得诺贝尔经济学奖，可以认为这是金融数学的研究第三次获得诺贝尔经济学奖。金融数学这门新兴的交叉学科已经成为国际金融界的一枝奇葩。 - 投资组合理论有狭义和广义之分。狭义的投资组合理论指的是
马柯维茨投资组合理论；而广义的投资组合理论除了经典的投资组合理论以及该理论的各种替代投资组合理论外，还包括由资本资产定价模型和证券市场有效理论构成的资本市场理论。 - 在现代金融数学理论中,各种各样的金融经济学模型占据着中心地位。其中至今仍有重大影响的成果有:
有效率的市场理论（有效市场的理想状态和套利的动态均衡）、证券组合理论（利用概率论、规划论获得最大收益、最小风险；应对理论的前提无法满足的问题，发展了基于神经网络的证券优化算法）、资本资产定价模型（CAPM，建立证券收益和风险的关系，风险又分为系统风险和非系统风险）、套利定价理论（APT，相比CAMP，假设不存在套利机会，那么预期收益与风险因素呈近似线性关系）、期权定价方程（期权定价模型的推导建立在6个假设基础上：没有交易成本、税收限制；无风险收益率是常量；股票不付股息；标的资产的随机价格服从几何布朗运动；对于贸易市场是连续开放的；期权是欧式的。该模型表明：期权的价格是期权商品市场价格、商品市场价格的波动、期权执行价格、距到期日时间的长短以及安全利息率的函数。）和资产结构理论（MM理论，其条件是非常苛刻的，正是因为这些假设抽象掉了大量的现实东西，从而揭示了企业金融决策中最本质的东西——企业经营者和投资者行为及其相互作用）等。 - 证券投资的直接目的是获取收益，避免损失。关于证券投资决策的研究通常可分为两类：
- 第一类是选择哪一些证券及其数量多少的问题，即静态投资组合问题，其具有奠基性的理论是前面提到的马克维茨组合投资理论。具有代表性的方法有线性规划方法、二次规划方法和神经网络方法等。
- 第二类是在什么时间买卖多少证券的问题，即动态随机控制问题。这类问题是近几年研究的热点之一，所使用的研究方法主要有随机最优控制方法、H控制方法和微分对策方法。
- 金融数学中的最新理论进展
- 鞅理论
- martingale
- 名称来源是指加倍赌注法这种策略
- 是满足下述条件的随机过程：已知过去某一 时刻 s 以及之前所有时刻的观测值，若某一时刻 t 的观测值的条件期望等於过去某一时刻 s 的观测值，则称这一随机过程是鞅。而於博弈论中，鞅經常用來作為公平博弈的数学模型。
- 熟悉的例子有赌徒谬误，波利亚罐子模型
- 上鞅：
生活是一个上鞅：随着时间的推进，期望降低。 - 下鞅
- 每一个鞅既是下鞅又是上鞅，反过来任何既是下鞅又是上鞅的随机过程是鞅。
- 最优停时理论
- 随机最优控制理论
- 微分对策理论
- 其他智能化方法
- 遗传算法
- 遗传算法（英語：genetic algorithm (GA) ）是计算数学中用于解决最佳化的搜索算法，是进化算法的一种。进化算法最初是借鉴了进化生物学中的一些现象而发展起来的，这些现象包括遗传、突变、自然选择以及杂交等。
- 遗传算法擅长解决的问题是全局最优化问题，例如，解决时间表安排问题就是它的一个特长，很多安排时间表的软件都使用遗传算法，遗传算法还经常被用于解决实际工程问题。
- 跟传统的爬山算法相比，遗传算法能够跳出局部最优而找到全局最优点。而且遗传算法允许使用非常复杂的适应度函数（或者叫做目标函数），并对变量的变化范围可以加以限制。而如果是传统的爬山算法，对变量范围进行限制意味着复杂得多的解决过程，这方面的介绍可以参看受限优化问题和非受限优化问题。
- 模拟退火算法
- 模拟退火來自冶金學的專有名詞退火。退火是將材料加熱後再經特定速率冷卻，目的是增大晶粒的體積，並且減少晶格中的缺陷。材料中的原子原來會停留在使內能有局部最小值的位置，加熱使能量變大，原子會離開原來位置，而隨機在其他位置中移動。退火冷卻時速度較慢，使得原子有較多可能可以找到內能比原先更低的位置。
- 可以证明，模拟退火算法所得解依概率收敛到全局最优解。
- 人工神经网络
- 小波分析
- 形象易懂讲解算法I——小波变换 - 知乎
- 傅里叶变换：傅里叶变化可以分析信号的频谱，那么为什么还要提出小波变换？答案就是“对非平稳过程，傅里叶变换有局限性”。
- 做FFT后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅值谱）却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的，只是出现的先后顺序不同。
- 短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform, STFT）
- 为了克服上述傅里叶变换的缺点，一个简单可行的方法就是——加窗。“把整个时域过程分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳，再傅里叶变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。”这就是短时傅里叶变换。
- 所以窄窗口时间分辨率高、频率分辨率低，宽窗口时间分辨率低、频率分辨率高。对于时变的非稳态信号，高频适合小窗口，低频适合大窗口。
- 然而STFT的窗口是固定的，在一次STFT中宽度不会变化，所以STFT还是无法满足非稳态信号变化的频率的需求。
- 做傅里叶变换只能得到一个频谱，做小波变换却可以得到一个时频谱！
- 小波做的改变就在于，将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。
- 遗传算法
- 鞅理论
- 实证研究就是从金融市场现实中取得数据,分析数据并建模型,然后揭示数据背后隐含的规律,最后返回数据和现实中检验结论的正确性.当今的研究越来越趋向实证研究,结论的好与坏在实际的检验下才能得到最终的验证。
- 待解决问题
- 决定性问题
- 学者们运用从物理学中开发出来的方法分析非线性系统，认识到真实的情况应该是即存在某种规律而循环，也存在混沌行为。
- 第一，经济变动的三性，确定过度条件、转换机制、演变过程、本质特征、产生结果以及人们相应的经济对策，尤其是货币政策
- 随机性
- 模糊性
- 混沌性
- 第二,对以货币信用为核心的货币需求量、货币供给量、金融资金流向与流量进行综合分析,给出货币均衡和非均衡的合理界定和合理模型,为改善社会总量平衡关系对财政、金融、物质、外汇的四大平衡提供依据。
- 第三,对利率、汇率、保率甚至税率和物价综合指数进行综合分析,为制定合理的三率体系提供符合实际的模型。
- 第四,对生产力要素的选择或部门资源配置,综合金融经济指标为研究对象的三观(微观、中观、宏观)进行综合分析,以便将其成果更充分、更广泛地运用于金融经济领域。
- 决定性问题
- 金融数学的历史可以追溯到1900年法国数学家巴谢利耶的博士论文《投机的理论》,这宣告了金融数学的诞生。在文中他首次用
几种优化算法的形象解释
既然我们把函数曲线理解成一个一个山峰和山谷组成的山脉。那么我们可以设想所得到的每一个解就是一只袋鼠，我们希望它们不断的向着更高处跳去，直到跳到最高的山峰。所以求最大值的过程就转化成一个“袋鼠跳”的过程。
下面介绍介绍“袋鼠跳”的几种方式。
- 爬山算法：一只袋鼠朝着比现在高的地方跳去。它找到了不远处的最高的山峰。但是这座山不一定是最高峰。这就是爬山算法，它不能保证局部最优值就是全局最优值。
- 模拟退火：袋鼠喝醉了。它随机地跳了很长时间。这期间，它可能走向高处，也可能踏入平地。但是，它渐渐清醒了并朝最高峰跳去。这就是模拟退火算法。
- 遗传算法：有很多袋鼠，它们降落到喜玛拉雅山脉的任意地方。这些袋鼠并不知道它们的任务是寻找珠穆朗玛峰。但每过几年，就在一些海拔高度较低的地方射杀一些袋鼠。于是，不断有袋鼠死于海拔较低的地方，而越是在海拔高的袋鼠越是能活得更久，也越有机会生儿育女。就这样经过许多年，这些袋鼠们竟然都不自觉地聚拢到了一个个的山峰上，可是在所有的袋鼠中，只有聚拢到珠穆朗玛峰的袋鼠被带回了美丽的澳洲。
量化交易
在我想象中，一个合格的quant是应该具备数学基础和编程能力的，还有对金融市场的熟悉，敏感和兴趣。
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- 美国金融专业细分：
- 金融(Science in Finance/Finance)
- 金融工程(Financial Engineering)
- 金融数学 (Financial Mathematics)
- 金融计算机(Computational Finance)
- 金融市场(Financial Markets)
- 金融工具(Financial Instruments)
- 公司金融(Corporate Finance)
- 公共金融(Public Finance)
- 银行和理财(Banks & Banking)
- 金融法律法规(Financial Regulation)
- 投资管理(Investment Management)
- 金融经济学(Financial Economics)
- 保险(Insurance)等
- 在历年的美国商科申请中，申请金融专业的比率达到35%以上；申请金融大类，包括金融工程，金融数学等专业的比率，则达到50%。金融数学(侧重算法模型)是一门新兴的跨学科专业，利用数学工具研究金融，进行数学建模、理论分析、数值计算等定量分析，以求找到金融学内在规律并用以指导实践。金融工程专业(侧重技术应用)则是用数学工具来建立金融市场模型和解决金融问题的新兴学科。
- 美国金融专业细分：